2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集 U = {1,2,3,4,5}，集合 A = {1,3}，B = {2,3,5}，则 CU(A ∪ B) =（ ）
A. {1,3}
B. {2,3,5}
C. {2,4}
D. {4}
2. 设 x ∈ R，则“x = 0”是“sin 2x = 0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 y = f(x) 的图象如下，则 f(x) 的解析式可能为（ ）
A. f(x)=x/(1-|x|)
B. f(x)=x/(|x|-1)
C. f(x)=|x|/(1-x²)
D. f(x)=|x|/(x²-1)
4. 若 m 为直线，α，β 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 m ∥ α，n ⊆ α，则 m ∥ n
B. 若 m ⊥ α，m ⊥ β，则 α ⊥ β
C. 若 m ∥ α，m ⊥ β，则 α ⊥ β
D. 若 m ⊆ α，α ⊥ β，则 m ⊥ β
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若 X ~ N(μ,σ²)，则 P(X ≤ μ - σ) = P(X ≥ μ + σ)
B. 若 X ~ N(1,2²)，Y ~ N(2,2²)，则 P(X < 1) < P(Y < 2)
C. |r| 越接近 1，相关性越强
D. |r| 越接近 0，相关性越弱
6. Sn = -n² + 8n，则数列 {|an|} 的前 12 项和为（ ）
A. 112
B. 48
C. 80
D. 64
7. 函数 f(x)=0.3x - √x 的零点所在区间是（ ）
A. (0,0.3)
B. (0.3,0.5)
C. (0.5,1)
D. (1,2)
8. f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在 [-π/12, π/12] 上单调递增，且 x=π/12 为它的一条对称轴，(π/3,0) 是它的一个对称中心；当 x∈[0,π/2] 时，f(x) 的最小值为（ ）
A. -√3/2
B. -1/2
C. 1
D. 0
9. 双曲线 x²/a² - y²/b² = 1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，以右焦点 F2 为焦点的抛物线 y²=2px(p>0) 与双曲线在第一象限的交点为 P，若 |PF1| + |PF2| = 3|F1F2|，则双曲线的离心率 e =（ ）
A. 2
B. 5
C. (√2+1)/2
D. (√5+1)/2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10. 已知 i 是虚数单位，则 |(3+i)/i| = ________。
11. 在 (x - 1)6 的展开式中，x³ 项的系数为 ________。
12. l1: x - y + 6 = 0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与圆 (x+1)² + (y-3)² = r² 交于 C,D 两点，|AB| = 3|CD|，则 r = ________。
13. 小桐操场跑圈，一周 2 次，一次 5 圈或 6 圈。第一次跑 5 圈或 6 圈的概率均为 0.5；若第一次跑 5 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.4，跑 6 圈的概率为 0.6；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6，跑 4 圈的概率为 0.4。小桐一周跑 11 圈的概率为 ________；若一周至少跑 11 圈为运动量达标，则连续跑 4 周，记合格周数为 X，则期望 E(X)=________。
14. △ABC 中，D 为 AB 边中点，向量 CE = (1/3)向量 CD，向量 AB = a，向量 AC = b，则向量 AE = ________；若 |向量 AE| = 5 且 AE ⊥ CB，则向量 AE · 向量 CD = ________。
15. 若 a,b ∈ R，对 ∀x∈[-2,2]，均有 (2a+b)x² + bx - a - 1 ≤ 0 恒成立，则 2a+b 的最小值为 ________。
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本题满分 14 分）在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 a sin B = √3 b cos A，c − 2b = 1，a = √7。
（I）求 A 的值；
（II）求 c 的值；
（III）求 sin(A+2B) 的值。
17.（本题满分 15 分）正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，E,F 分别为 A1D1，C1B1 中点，CG = 3C1G。
（I）求证：GF ⊥ 平面 EBF；
（II）求平面 EBF 与平面 EBG 夹角的余弦值；
（III）求三棱锥 D-BEF 的体积。
18.（本题满分 15 分）已知椭圆 x²/a² + y²/b² = 1(a>b>0) 的左焦点为 F，右顶点为 A，P 为 x=a 上一点，且直线 PF 的斜率为 1/3，△PFA 的面积为 3/2，离心率为 1/2。
（I）求椭圆的方程；
（II）过点 P 的直线与椭圆有唯一交点 B（异于点 A），求证：PF 平分 ∠AFB。
19.（本题满分 15 分）{an} 是等差数列，{bn} 是等比数列，a1=b1=2，a2=b2+1，a3=b3。
（I）求 {an}，{bn} 的通项公式；
（II）∀n∈N*，有 Tn={p1a1b1+p2a2b2+...+pnanbn|p1,p2,...,pn∈I}，I={0,1}。
（i）求证：∀t∈Tn，均有 t<an+1bn+1；
（ii）求 Tn 所有元素之和。
20.（本题满分 16 分）已知函数 f(x)=ax-(ln x)²。
（I）a=1 时，求 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；
（II）f(x) 有 3 个零点 x1,x2,x3，且 x1<x2<x3。
（i）求 a 的取值范围；
（ii）证明：(ln x2 - ln x1) · ln x3 < 4e/(e-1)。