2025 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学
数学
2025 年普通高等学校招生全国统一考试
（上海卷）
数学
注意事项：
1．答卷前， 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，
试室号，
座位号填写在答题
卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；
2．选择题每小题选出答案后， 如需改动，
用
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
第 1 ~ 6 题每题 4 分，
一、填空题（本大题共 12 题， 第 7 ~ 12 题每题 5 分，
共 54 分。考生应在答题纸的相应
位置直接填写结果。
）
1. 已知全集 U = {x|2 ≤ x ≤ 5,x ∈ R}，
集合 A = {x|2 ≤ x < 4,x ∈ R}，
则 A 在 U 中的补集为 ．
2. 不等式 (x - 1) / (x - 3) < 0 的解集为 ．
3. 已知等差数列 {aₙ} 的首项 a₁ = -3，公差 d = 2，则该数列的前 6 项和为 ．
4. 在二项式 (2x - 1)⁵ 的展开式中，x³ 的系数为 ．
5. 函数 y = cos x 在 [-π/2，π/4] 上的值域为 ．
6. 已知随机变量 X 的分布为 5 6 7
0.2 0.3 0.5，则期望 E[X] = ．
0.2 0.3 0.5，则期望 E[X] = ．
7. 如图，在正四棱柱 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，BD = 4√2，DB₁ = 9，则该正四棱柱的体积为 ．
8. 设 a,b > 0，a + 1/b = 1，则 b + 1/a 的最小值为 ．
9. 4 个家长和 2 个儿童去爬山．6 个人需要排成一条队列，
要求队列的头和尾均是家长，
则不同的排列个数
有 种.
10. 已知复数 z 满足 z² = (z̄)²，|z| ≤ 1，
则 |z - 2 - 3i| 的最小值是 ．
11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为 1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 A，B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为 0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.45 米．则斜面的底角 θ = ________．（结果用角弧度制表示，精确到 0.01°）
12. 已知函数 f(x) = { 1（x > 0），0（x = 0），-1（x < 0）}，a、b、c 是平面内三个不同的单位向量．若 f(a · b) + f(b · c) + f(c · a) = 0，则 |a + b + c| 的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分。每题有且仅有一个正确选项）
13. 已知事件 A、B 相互独立，事件 A 发生的概率为 P(A) = 1/2，事件 B 发生的概率为 P(B) = 1/2，则事件 A ∩ B 发生的概率 P(A ∩ B) 为（ ）
A. 1/8 B. 1/4 C. 1/2 D. 0
14. 设 a > 0，s ∈ R．下列各项中，能推出 aˢ > a 的一项是（ ）
A. a > 1，且 s > 0． B. a > 1，且 s < 0．
C. 0 < a < 1，且 s > 0． D. 0 < a < 1，且 s < 0．
15. 已知 A(0,1)，B(1,2)，C 在 Γ: x² - y² = 1（x ≥ 1，y ≥ 0）上，则 △ABC 的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值． B. 没有最大值，但有最小值．
C. 既有最大值，也有最小值． D. 既没有最大值，也没有最小值．
16. 设 λ ∈ [0,1]，数列 aₙ = 10n - 9，数列 bₙ = 2ⁿ．设 cₙ = λaₙ + (1 - λ)bₙ．若对任意 λ ∈ [0,1]，长为 aₙ、bₙ、cₙ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 n 有（ ）
A. 1 个． B. 3 个． C. 4 个． D. 无穷
三、解答题：解答题（本大题共 5 题，第 17—19 题每题 14 分，第 20—21 题每题 18 分，共 78 分。）
17.（第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
2024 年东京奥运会，中国获得了男子 4 × 100 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 4 × 100 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列：
206.78、207.46、207.95、209.34、209.35、210.68、213.73、214.84、216.93、216.93．
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据在 211 以上的概率；
（3）若比赛成绩 y 关于年份 x 的回归方程为 y = -0.311x + b，年份 x 的平均数为 2006，预测 2028 年冠军队的成绩（精确到 0.01 秒）．
18.（第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且 AB = 2．
（1）若直线 PA 与圆锥底面的所成角为 π/3，求圆锥的侧面积；
（2）已知 Q 是母线 PA 的中点，点 C、D 在底面圆周上，且弧 CD 的长为 π/3，CD // AB．设点 M 在线段 OC 上，
证明： 直线 QM // 平面 PBD．
19.（第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
已知 f(x) = x² - (m + 2)x + m ln x，m ∈ R．
（1）若 f(1) = 0，求不等式 f(x) ≤ x² - 1 的解集；
（2）若函数 y = f(x) 满足在 (0, +∞) 上存在极大值，求 m 的取值范围；
20.（第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分）
已知椭圆 Γ: x²/a² + y²/5 = 1（a > √5），M(0,m)（m > 0），A 是 Γ 的右顶点．
（1）若 Γ 的焦点是 (2,0)，求离心率 e；
（2）若 a = 4，且 Γ 上存在一点 P，满足向量 PA = 2 向量 MP，求 m；
（3）若 AM 中垂线 l 的斜率为 2，l 与 Γ 交于 C、D 两点，∠CMD 为钝角，求 a 的取值范围．
21.（第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
已知函数 y = f(x) 的定义域为 R．对于正实数 a，定义集合 Mₐ = {x| f(x + a) = f(x)}．
（1）若 f(x) = sin x，判断 π/3 是否是 Mπ 中的元素，并说明理由；
（2）若 f(x) = { x + 2（x < 0），x（x ≥ 0）}，Mₐ ≠ ∅，求 a 的取值范围；
（3）设 y = f(x) 是偶函数，当 x ∈ (0,1] 时，f(x) = 1 - x，且对任意 a ∈ (0,2)，均有 Mₐ ⊆ M₂．写出 y = f(x)，x ∈ (1,2) 的解析式，对任意实数 c，并证明：函数 y = f(x) - c 在 [-3,3] 上至多有 9 个零点．