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全国二卷数学 · 试卷正式可打印只含试卷题目页；A4 手工重排版。
2025 年普通高等学校招生全国统一考试 · 新高考 II 卷

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【高考真题】2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 II 卷）
数学试题

注意事项：1、填写答题卡的内容用 2B 铅笔填写。2、提前 xx 分钟收取答题卡。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 2，8，14，16，20 的平均数为（　）
  • A. 8
  • B. 9
  • C. 12
  • D. 18
2. 已知 z=1+i，则 1z−1=（　）
  • A. −i
  • B. i
  • C. −1
  • D. 1
3. 已知集合 A={−4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则 A∩B=（　）
  • A. {0，1，2}
  • B. {1，2，8}
  • C. {2，8}
  • D. {0，1}
4. 不等式 x−4x−1 ≥ 2 的解集是（　）
  • A. {x|−2≤x≤1}
  • B. {x|x≤−2}
  • C. {x|−2≤x<1}
  • D. {x|x>1}
5. 在 △ABC 中，BC=2，AC=1+√3，AB=√6，则 A=（　）
  • A. 45°
  • B. 60°
  • C. 120°
  • D. 135°
6. 设抛物线 C：y2=2px（p>0）的焦点为 F，点 A 在 C 上，过 A 作 C 的准线的垂线，垂足为 B，若 lBF：y=−2x+2，则 |AF|=（　）
  • A. 3
  • B. 4
  • C. 5
  • D. 6
7. 记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和，若 S3=6，S5=−5，则 S6=（　）
  • A. −20
  • B. −15
  • C. −10
  • D. −5
8. 已知 0<α<π，cos α2=√55，则 sin(α−π4)=（　）
  • A. √210
  • B. √25
  • C. 3√210
  • D. 7√210
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和，q 为 {an} 的公比，q>0，若 S3=7，a3=1，则（　）
  • A. q=12
  • B. a5=19
  • C. S5=8
  • D. an+Sn=8
10. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2，则（　）
  • A. f(0)=0
  • B. 当 x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2
  • C. f(x)≥2 当且仅当 x≥√3
  • D. x=−1 是 f(x) 的极大值点
11. 双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是 F1，F2，左、右顶点分别为 A1，A2，以 F1F2 为直径的圆与 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，且 ∠NA1M=5π6，则（　）
  • A. ∠A1MA2=π6
  • B. |MA1|=2|MA2|
  • C. C 的离心率为 √13
  • D. 当 a=√2 时，四边形 NA1MA2 的面积为 8√3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知平面向量 a=(x，1)，b=(x−1，2x)，若 a⊥(a−b)，则 |a|=。
13. 若 x=2 是函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a) 的极值点，则 f(0)=。
14. 一个底面半径为 4cm，高为 9cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知函数 f(x)=cos(2x+φ)（0≤φ<π），f(0)=12。
（1）求 φ；
（2）设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)，求 g(x) 的值域和单调区间。
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16. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 √22，长轴长为 4。
（1）求 C 的方程；
（2）过点 (0，−2) 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 △OAB 的面积为 √2，求 |AB|。
17. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=90°，F 为 CD 的中点，点 E 在 AB 上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至四边形 EFD′A′，使得面 EFD′A′ 与面 EFCB 所成的二面角为 60°。
AEBDFCD′A′
（1）证明：A′B∥平面 CDF；
（2）求面 BCD′ 与面 EFD′A′ 所成二面角的正弦值。
18. 已知函数 f(x)=ln(1+x)−x+12x2−kx3，其中 0<k<13。
（1）证明：f(x) 在区间 (0，+∞) 存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设 x1，x2 分别为 f(x) 在区间 (0，+∞) 的极值点和零点。
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)，证明：g(t) 在区间 (0，x1) 单调递减；
(ii) 比较 2x1 与 x2 的大小，并证明你的结论。
19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分。设每个球甲胜的概率为 p（12<p<1），乙胜的概率为 q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 k≥2，记 Pk 为打完 k 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qk 为打完 k 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率。
（1）求 P3，P4（用 p 表示）；
（2）若 P4−P3q4−q3=4，求 p；
（3）证明：对任意正整数 m，P2m+1−q2m+1<P2m−q2m<P2m+2−q2m+2。