2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 12 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 M = {x | 2x - 1 > 5}, N = {1,2,3}，则 M ∩ N =（ ）
A. {1,2,3}
B. {2,3}
C. {3}
D. ∅
2. 已知复数 z 满足 i·z + 2 = 2i，则 |z| =（ ）
A. √2
B. 2√2
C. 4
D. 8
3. 双曲线 x² - 4y² = 4 的离心率为（ ）
A. 3/2
B. √5/2
C. 5/4
D. √5
4. 为了得到函数 y = 9ˣ 的图象，只需把函数 y = 3ˣ 的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来 1/2 倍（纵坐标不变）
B. 横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的 1/3 倍（横坐标不变）
D. 纵坐标变为原来的 3 倍（横坐标不变）
5. 已知 {aₙ} 是公差不为零的等差数列，a₁ = -2，若 a₃, a₄, a₆ 成等比数列，则 a₁₀ =（ ）
A. -20
B. -18
C. 16
D. 18
6. 已知 a > 0, b > 0，则（ ）
A. a² + b² > 2ab
B. 1/a + 1/b ≥ 1/(ab)
C. a + b > √ab
D. 1/a + 1/b ≤ 2/√ab
7. 已知函数 f(x) 的定义域为 D，则“f(x) 的值域为 R”是“对任意 M ∈ R，存在 x₀ ∈ D，使得 f(x₀) > M”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数 f(x) = sin ωx + cos ωx (ω > 0)，若 f(x + π) = f(x) 恒成立，且 f(x) 在 [0, π/4] 上存在零点，则 ω 的最小值为（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N 个单位数据量所需要的时间 T = k log₂N（单位：h），其中 k 为常数。已知训练数据量 N 从 10⁶ 个单位增加到 1.024×10⁹ 个单位时，训练时间增加 20h；当训练数据量 N 从 1.024×10⁹ 个单位增加到 4.096×10⁹ 个单位时，训练时间增加（ ）
A. 2h
B. 4h
C. 20h
D. 40h
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，|OA| = |OB| = √2，|AB| = 2。设 C(3,4)，则 |2CA + AB| 的取值范围是（ ）
A. [6,14]
B. [6,12]
C. [8,14]
D. [8,12]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 已知抛物线 y² = 2px (p > 0) 的顶点到焦点的距离为 3，则 p = ________。
12. 已知 (1 - 2x)⁴ = a₀ - 2a₁x + 4a₂x² - 8a₃x³ + 16a₄x⁴，则 a₀ = ________；a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = ________。
13. 已知 α, β ∈ [0,2π]，且 sin(α + β) = sin(α - β)，cos(α + β) ≠ cos(α - β)。写出满足条件的一组 α, β 的值：α = ________，β = ________。
14. 某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEF 是一个平面多边形，平面 AFR ⟂ 平面 ABC，平面 CDT ⟂ 平面 ABC，AB ⟂ BC，AB // EF // RS // CD，BC // DE // ST // AF。若 AB = BC = 8, AF = CD = 4, RA = RF = TC = TD = 5/2，则该多面体的体积为 ________。
15. 关于定义域为 R 的函数 f(x)，给出下列四个结论：
①存在在 R 上单调递增的函数 f(x) 使得 f(x)+f(2x)=-x 恒成立；
②存在在 R 上单调递减的函数 f(x) 使得 f(x)-f(2x)=x 恒成立；
③使得 f(x)+f(-x)=cos x 恒成立的函数 f(x) 存在且有无穷多个；
④使得 f(x)-f(-x)=cos x 恒成立的函数 f(x) 存在且有无穷多个。
其中正确结论序号是 ________。
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 在 △ABC 中，cos A = -1/3，a sin C = 4√2。
（1）求 c 的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC 存在，求 BC 边上的高。
条件①：a = 6；条件②：a sin B = 10√2/3；条件③：△ABC 的面积为 10√2。
17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，△ADC 与 △BAC 均为等腰直角三角形，∠ADC = 90°，∠BAC = 90°，E 为 BC 的中点。
（1）若 F, G 分别为 PD, PE 的中点，求证：FG // 平面 PAB；
（2）若 PA ⟂ 平面 ABCD，PA = AC，求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值。
18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。随机抽查甲、乙两校高一年级各 100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为 80，乙校学生选择正确的人数为 75。假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率。
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 p；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 1 名，设 X 为这 2 名学生中该题选择正确的人数，估计 X = 1 的概率及 X 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为 100%，乙校学生选择正确的概率为 85%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p₁, p₂，判断 p₁ 与 p₂ 的大小（结论不要求证明）。
19. 已知椭圆 E: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √2/2，椭圆 E 上的点到两焦点的距离之和为 4。
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，点 M(x₀,y₀)(x₀≠0) 在椭圆 E 上，直线 x₀x + 2y₀y - 4 = 0 与直线 y = 2, y = -2 分别交于点 A, B。设 △OAM 与 △OBM 的面积分别为 S₁, S₂，比较 S₁/S₂ 与 |OA|/|OB| 的大小。
20. 已知函数 f(x) 的定义域是 (-1,+∞)，f(0)=0，导函数 f′(x)=ln(1+x)/(1+x)。设 l₁ 是曲线 y=f(x) 在点 A(a,f(a))(a≠0) 处的切线。
（1）求 f′(x) 的最大值；
（2）当 -1 < a < 0 时，证明：除切点 A 外，曲线 y=f(x) 在直线 l₁ 的上方；
（3）设过点 A 的直线 l₂ 与直线 l₁ 垂直，l₁,l₂ 与 x 轴交点的横坐标分别是 x₁,x₂，若 a > 0，求 (2a - x₂ - x₁)/(x₂ - x₁) 的取值范围。
21. 已知集合 A={1,2,3,4,5,6,7,8}，M={(x,y)|x∈A,y∈A}，从 M 中选取 n 个不同的元素组成一个序列：(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ)。若该序列的相邻项 (xᵢ,yᵢ),(xᵢ₊₁,yᵢ₊₁) 满足：|xᵢ₊₁-xᵢ|=3, |yᵢ₊₁-yᵢ|=4 或 |xᵢ₊₁-xᵢ|=4, |yᵢ₊₁-yᵢ|=3，则称该序列为 K 列。
（1）对于第 1 项为 (3,3) 的 K 列，写出它的第 2 项；
（2）设 Γ 为 K 列，且 Γ 中的项 (xᵢ,yᵢ) 满足：当 i 为奇数时，xᵢ∈{1,2,7,8}；当 i 为偶数时，xᵢ∈{3,4,5,6}。判断 (3,2),(4,4) 能否同时为 Γ 中的项，并说明理由；
（3）证明：由 M 的全部元素组成的序列都不是 K 列。